Nguyên Hàm 1/x

     

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/x

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm có 3 tính chất quan trọng đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi biến tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong các số đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu thị f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: bộc lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: lúc ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến dạng 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u với dv: kiếm được v tiện lợi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: đồ vật tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, lượng chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn phương pháp bấm máy tính xách tay nguyên hàm cấp tốc theo 3 cách sau:

Bước 1: dìm shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì sẽ là đáp án cần chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm thứ tính

Bước 1: Nhập vào máy vi tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( 2x + 3 ight ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong tác dụng A cùng C nếu cho X = 2 thì hầu hết cho công dụng là 0. Vậy khi gồm trị tuyệt đối hoàn hảo thì mang đến X một giá chỉ trị đến biểu thức vào trị tuyệt đối âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: Hệ Hô Hấp Gồm Những Cơ Quan Nào ? Các Cơ Quan Hô Hấp

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa lựa chọn 1 trong hai giải pháp sau:

Cách 1: thực hiện nguyên hàm từng phần, triển khai theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: nuốm vào cách làm nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tiếp thủ tục như bên trên ta sẽ khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Cảm Nghĩ Về Món Quà Thời Thơ Ấu Hay Nhất (12 Mẫu), Bài Văn Cảm Nghĩ Về Một Món Quà Tuổi Thơ Lớp 7

Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số ấy $A(x)$ với $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: lấy đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số biến động ta khẳng định được $A(x)$ với $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của đa thức to hơn $3$ thì phương pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì lúc ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, vì vậy ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bởi $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của nhiều thức lớn hơn hoặc bởi $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$